Integrala Definită

Integrala definită reprezintă o metodă de a calcula aria unei regiuni delimitate de graficul unei funcții și axa Ox, între două valori date ale variabilei independente \(a\) și \(b\). Formula generală (formula lui Leibniz–Newton) pentru integrala definită este:

\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] unde \(F(x)\) este o primitivă a funcției \(f(x)\).

Proprietăți Ale Integralei Definită

\(\int_a^a f(x) \, dx = 0\) (integrala pe un interval de lungime zero este zero).
\(\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx\) (schimbarea limitelor de integrare schimbă semnul).
Aditivitatea intervalului: \(\int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx\).
Dacă \(f(x) \geq 0\) pe \([a, b]\), atunci \(\int_a^b f(x) \, dx \geq 0\).

Exemplu Rezolvat

Să se calculeze: \[ \int_1^3 (2x + 1) \, dx \]

1. Calculăm primitiva funcției \(f(x) = 2x + 1\):

\[ \int (2x + 1) \, dx = x^2 + x + C \]

2. Aplicăm formula integralei definite:

\[ \int_1^3 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_1^3 \]

3. Evaluăm limita superioară și limita inferioară:

\[ F(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12, \quad F(1) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \]

4. Rezultatul final:

\[ \int_1^3 (2x + 1) \, dx = F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10 \]

Exercițiu Suplimentar

Să se calculeze integrala definită:

\[ \int_0^2 (x^2 + 3x) \, dx \]

Rezolvare:

\[ \int (x^2 + 3x) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C \] Aplicăm limitele: \[ \int_0^2 (x^2 + 3x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_0^2 \] Calculăm: \[ F(2) = \frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2} = \frac{8}{3} + \frac{12}{2} = \frac{8}{3} + 6 = \frac{26}{3} \] \[ F(0) = \frac{0^3}{3} + \frac{3(0^2)}{2} = 0 \] Rezultatul final: \[ \int_0^2 (x^2 + 3x) \, dx = F(2) - F(0) = \frac{26}{3} - 0 = \frac{26}{3} \]

Exerciții

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{2} (x^3 + 2x^2 + x + 1) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x^2 + 4x + 3) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{\ln(2)} e^x \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{\pi/4} \cos(x) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{3} (x^2 + 2\sqrt{x}) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{1}^{2} (x^4 + 3x^2 + 2) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{1} (x^3 - x^2 + x) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^{5/2} + 2x^{3/2}) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{1} (\cos(x) + e^x) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{0}^{2} (\sin(x) + \sqrt{x}) \, dx \)

Calculați: \(\displaystyle \int_{1}^{4} \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + e^x \right) \, dx \)

Răspunsuri

\(\displaystyle \frac{40}{3}\)

\(\displaystyle \frac{124}{3} \)

\(\displaystyle \frac{2}{3} \)

\(2\)

\(1\)

\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\displaystyle 9 + 2\sqrt{3}\)

\(\displaystyle \frac{76}{5}\)

\(1\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}\)

\(\displaystyle \frac{352\sqrt{2}}{35}\)

\((\sin(1) + e) - 1\)

\(\displaystyle 1 - \cos(2) + \frac{4\sqrt{2}}{3}\)

\(2 + e^4 - e\)

Rezolvări

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^2 (x^3 + 2x^2 + x + 1)\, dx\)
Integrăm fiecare termen:
\[ \int x^3\, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int 2x^2\, dx = \frac{2x^3}{3}, \quad \int x\, dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int 1\, dx = x \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x\right]_0^2 = \left(\frac{2^4}{4} + \frac{2\cdot2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2\right) - (0) \]
\[ = \left(4 + \frac{16}{3} + 2 + 2\right) = 8 + \frac{16}{3} = \frac{24+16}{3} = \frac{40}{3} \]
Rezultatul final:
\[ \frac{40}{3} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_1^3 (2x^2 + 4x + 3)\, dx\)
Integrăm fiecare termen:
\[ \int 2x^2\, dx = \frac{2x^3}{3}, \quad \int 4x\, dx = 2x^2, \quad \int 3\, dx = 3x \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 3x\right]_1^3 \]
Calculăm pentru \(x=3\):
\[ \frac{2\cdot27}{3} + 2\cdot9 + 3\cdot3 = 18 + 18 + 9 = 45 \]
Calculăm pentru \(x=1\):
\[ \frac{2\cdot1}{3} + 2\cdot1 + 3\cdot1 = \frac{2}{3} + 2 + 3 = \frac{11}{3} \]
Deci:
\[ 45 - \frac{11}{3} = \frac{135-11}{3} = \frac{124}{3} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{x}\, dx\)
Scriem \(\sqrt{x} = x^{1/2}\), deci:
\[ \int x^{1/2}\, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{2}{3} x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}(1^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx\)
Scriem \(\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}\), deci:
\[ \int x^{-1/2}\, dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 2(4^{1/2}) - 2(1^{1/2}) = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2 \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^{\ln(2)} e^x\, dx\)
\[ \int e^x\, dx = e^x \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[e^x\right]_0^{\ln(2)} = e^{\ln(2)} - e^0 = 2 - 1 = 1 \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^{\pi/2} \sin(x)\, dx\)
\[ \int \sin(x)\, dx = -\cos(x) \]
Aplicăm limitele:
\[ [-\cos(x)]_0^{\pi/2} = (-\cos(\pi/2)) - (-\cos(0)) = (0) - (-1) = 1 \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^{\pi/4} \cos(x)\, dx\)
\[ \int \cos(x)\, dx = \sin(x) \]
Aplicăm limitele:
\[ [\sin(x)]_0^{\pi/4} = \sin(\pi/4) - \sin(0) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^3 (x^2 + 2\sqrt{x})\, dx\)
Separăm:
\[ \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int 2x^{1/2}\, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{x^3}{3} + \frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^3 \]
Calculăm pentru \(x=3\):
\[ \frac{3^3}{3} + \frac{2}{3} \cdot 3^{3/2} = \frac{27}{3} + \frac{2}{3}\cdot3\sqrt{3} = 9 + 2\sqrt{3} \]
Calculăm pentru \(x=0\):
\[ 0 \]
Deci:
\[ 9 + 2\sqrt{3} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_1^2 (x^4 + 3x^2 + 2)\, dx\)
Integrăm fiecare termen:
\[ \int x^4\, dx = \frac{x^5}{5}, \quad \int 3x^2\, dx = x^3, \quad \int 2\, dx = 2x \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{x^5}{5} + x^3 + 2x\right]_1^2 \]
Calculăm pentru \(x=2\):
\[ \frac{32}{5} + 8 + 4 = \frac{32}{5} + 12 = \frac{32+60}{5} = \frac{92}{5} \]
Calculăm pentru \(x=1\):
\[ \frac{1}{5} + 1 + 2 = \frac{1}{5} + 3 = \frac{16}{5} \]
Deci:
\[ \frac{92}{5} - \frac{16}{5} = \frac{76}{5} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x}\, dx\)
\[ \int \frac{1}{x}\, dx = \ln|x| \]
Aplicăm limitele:
\[ [\ln x]_1^e = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1 \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^1 (x^3 - x^2 + x)\, dx\)
Separăm:
\[ \int x^3\, dx = \frac{x^4}{4}, \quad \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int x\, dx = \frac{x^2}{2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 \]
Pentru \(x=1\):
\[ \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3-4+6}{12} = \frac{5}{12} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^2 (3x^{5/2} + 2x^{3/2})\, dx\)
Separăm:
\[ \int 3x^{5/2}\, dx = 3\cdot\frac{2}{7}x^{7/2} = \frac{6}{7}x^{7/2}, \quad \int 2x^{3/2}\, dx = 2\cdot\frac{2}{5}x^{5/2} = \frac{4}{5}x^{5/2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[\frac{6}{7}x^{7/2} + \frac{4}{5}x^{5/2}\right]_0^2 \]
Calculăm pentru \(x=2\):
\[ \frac{6}{7}(2^{7/2}) + \frac{4}{5}(2^{5/2}) = \frac{6}{7}(8\sqrt{2}) + \frac{4}{5}(4\sqrt{2}) = \frac{48\sqrt{2}}{7} + \frac{16\sqrt{2}}{5} \]
Aducem la același numitor:
\[ \frac{48\cdot5\sqrt{2} + 16\cdot7\sqrt{2}}{35} = \frac{240\sqrt{2} + 112\sqrt{2}}{35} = \frac{352\sqrt{2}}{35} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^1 (\cos(x) + e^x)\, dx\)
Separăm:
\[ \int \cos(x)\, dx = \sin(x), \quad \int e^x\, dx = e^x \]
Aplicăm limitele:
\[ [\sin(x) + e^x]_0^1 = (\sin(1) + e^1) - (0 + e^0) = (\sin(1) + e) - 1 \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_0^2 (\sin(x) + \sqrt{x})\, dx\)
Separăm:
\[ \int \sin(x)\, dx = -\cos(x), \quad \int \sqrt{x}\, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[-\cos(x) + \frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^2 \]
Pentru \(x=2\):
\[ -\cos(2) + \frac{2}{3}(2^{3/2}) = -\cos(2) + \frac{2}{3}(2\sqrt{2}) = -\cos(2) + \frac{4\sqrt{2}}{3} \]
Pentru \(x=0\):
\[ -\cos(0) + 0 = -1 \]
Deci:
\[ \left(-\cos(2) + \frac{4\sqrt{2}}{3}\right) - (-1) = 1 - \cos(2) + \frac{4\sqrt{2}}{3} \]

Calculăm: \(\displaystyle \int_1^4 \left(\frac{1}{\sqrt{x}} + e^x\right)\, dx\)
Separăm:
\[ \int x^{-1/2}\, dx = 2x^{1/2}, \quad \int e^x\, dx = e^x \]
Aplicăm limitele:
\[ \left[2x^{1/2} + e^x\right]_1^4 \]
Pentru \(x=4\):
\[ 2(4^{1/2}) + e^4 = 4 + e^4 \]
Pentru \(x=1\):
\[ 2(1^{1/2}) + e^1 = 2 + e \]
Deci:
\[ (4+e^4) - (2+e) = 2 + e^4 - e \]

Cuprins

Explicație
Exerciții