Inecuatii logaritmice

Inecuația logaritmică este de forma:

\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \geq \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} < \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \leq \log_a {g(x)} \]

Metoda de Rezolvare

Caz 1: Baza logaritmului este un numar constant (\(a > 0\), \(a \neq 1\))

Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \]
Transformam inecuatia sa aiba aceeasi baza la logaritm in fiecare parte a inecuatiei, apoi cu ajutrul unei conditii scapam de logaritmi si lasam doar expresia dinauntrul logaritmilor. Fie aceasta inecuatie ca exemplu:
\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \] Rezolvăm inecuația logaritmică în funcție de valoarea bazei:
- Dacă \(a > 1\), păstrăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) > g(x) \]
- Dacă \(0 < a < 1\), schimbăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) < g(x) \]
Construim o axa comuna cu DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > 2 \]

Pasul 1: Determinarea DVA

Condiția logaritmului: \[ x - 5 > 0 \implies x > 5 \] Domeniul de valori admisibile este: \[ \text{DVA} = (5; +\infty) \]

Pasul 2: Rezolvarea inecuației

Scriem inecuația cu bazele egale: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Observăm că baza logaritmului este \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), deci schimbăm semnul inegalității: \[ x - 5 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Calculăm: \[ x - 5 < \frac{1}{4} \]
\[ x < \frac{1}{4} + 5 \implies x < \frac{1}{4} + \frac{5}{1} \implies x < \frac{1}{4} + \frac{20}{4} \implies x < \frac{21}{4} \]

Intervalul va fi \[ x \in \left( -\infty; \frac{21}{4} \right) \]

Pasul 3: Axa comuna cu DVA

Intersecția intervalelor este: \[ S = \left( 5; \frac{21}{4} \right) \]

Caz 2: Baza logaritmului este funcție de \(x\)

Fie aceasta inecuatie ca exemplu: \[ \log_{b(x)} {f(x)} \geq \log_{b(x)} {g(x)} \]

Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ b(x) > 0 \\ b(x) \neq 1 \end{cases} \]
Construim sistemul: \[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b(x) > 1 \\ f(x) \geq g(x) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b(x) < 1 \\ f(x) \leq g(x) \end{array} \right. \end{array} \right. \]
Construim axa comuna cu DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \log_{x+2}(x-1) > \log_{x+2} 3 \]

Pasul 1: Determinarea DVA:

\[ \text{DVA: } \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases} \]

Intersecția intervalelor este: \[ \text{DVA} = (1; +\infty) \]

Pasul 2: Rezolvarea inecuației

\[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x+2 > 1 \\ x-1 > 3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x+2 < 1 \\ x-1 < 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 1-2 \\ x > 3+1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < 1-2 \\ x < 3+1 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \]

Construim axa pentru fiecare sistem.
Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right.\)

\[x \in (4; +\infty) \]

Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \)

\[x \in (-\infty; -1) \]

Pentru tot sistemul:

\[ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \]

Pasul 3: Axa comuna cu DVA

Intersecția soluției cu DVA este: \[ x \in (4; +\infty) \]

Raspuns

\[ S = (4; +\infty) \]

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{1}{8} \right)^{-2x} < 64 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 36^{-2x+3} \geq \frac{1}{6} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{3}{5} \right)^{2-x} < \left( \frac{5}{3} \right)^{2x+4} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{1}{27} \right)^{-2x} > 9 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{25}{4} \right)^{-3x+2} \leq \frac{2}{5} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle (0.5)^x \leq (0.25)^{2x - 1} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle (0.5)^{x^2-12} \geq 8 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{2}{9} \right)^{x^2+x} \geq (20.25)^{2x-7} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right)^{6x+10-x^2} < \left(\frac{64}{27}\right)^{-1} \)

Răspunsuri

\( x \in (-\infty, 1) \)

\( x \in (-\infty, \dfrac{7}{4}] \)

\( x \in (-6, +\infty) \)

\( x \in \left( \dfrac{1}{3}, +\infty \right) \)

\( x \in \left[ \dfrac{5}{6}, +\infty \right) \)

\( x \in (-\infty, \dfrac{2}{3}] \)

\( x \in [-3, 3] \)

\( x \in [-7, 2] \)

\( x \in (-1, 7) \)

Rezolvări

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( \dfrac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{8} \right)^{-2x} = 2^{6x} \)
\( 64 = 2^6 \)
Inecuția devine:
\( 2^{6x} < 2^6 \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul inegalității rămâne:
\( 6x < 6 \)
\( x < 1 \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, 1) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 6:
\( 36 = 6^2 \Rightarrow 36^{-2x+3} = 6^{-4x+6} \)
\( \dfrac{1}{6} = 6^{-1} \)
Inecuția devine:
\( 6^{-4x+6} \geq 6^{-1} \)
Deoarece baza 6 > 1, sensul rămâne:
\( -4x + 6 \geq -1 \)
\( -4x \geq -7 \)
Împărțim la -4 (schimbăm sensul):
\( x \leq \dfrac{7}{4} \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, \dfrac{7}{4}] \).

Observăm că \( \dfrac{5}{3} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-1} \), deci:
\( \left( \dfrac{5}{3} \right)^{2x+4} = \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-(2x+4)} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{3}{5} \right)^{2-x} < \left( \dfrac{3}{5} \right)^{-2x-4} \)
Deoarece baza \( 0 < \dfrac{3}{5} < 1 \), schimbăm sensul inegalității:
\( 2 - x > -2x - 4 \)
\( 2 + 4 > -2x + x \)
\( 6 > -x \)
\( x > -6 \)
Răspuns: \( x \in (-6, +\infty) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 3:
\( \dfrac{1}{27} = 3^{-3} \Rightarrow \left( \dfrac{1}{27} \right)^{-2x} = 3^{6x} \)
\( 9 = 3^2 \)
Inecuția devine:
\( 3^{6x} > 3^2 \)
Deoarece baza 3 > 1, sensul rămâne:
\( 6x > 2 \)
\( x > \dfrac{1}{3} \)
Răspuns: \( x \in \left( \dfrac{1}{3}, +\infty \right) \).

Transformăm bazele:
\( \dfrac{25}{4} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^2 \Rightarrow \left( \dfrac{25}{4} \right)^{-3x+2} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-6x+4} \)
\( \dfrac{2}{5} = \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-1} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-6x+4} \leq \left( \dfrac{5}{2} \right)^{-1} \)
Deoarece baza \( \dfrac{5}{2} > 1 \), sensul rămâne:
\( -6x + 4 \leq -1 \)
\( -6x \leq -5 \)
Împărțim la -6 (schimbăm sensul):
\( x \geq \dfrac{5}{6} \)
Răspuns: \( x \in \left[ \dfrac{5}{6}, +\infty \right) \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( 0.5 = 2^{-1} \Rightarrow (0.5)^x = 2^{-x} \)
\( 0.25 = 2^{-2} \Rightarrow (0.25)^{2x-1} = 2^{-4x+2} \)
Inecuția devine:
\( 2^{-x} \leq 2^{-4x+2} \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul rămâne:
\( -x \leq -4x + 2 \)
\( 3x \leq 2 \)
\( x \leq \dfrac{2}{3} \)
Răspuns: \( x \in (-\infty, \dfrac{2}{3}] \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( 0.5 = 2^{-1} \Rightarrow (0.5)^{x^2-12} = 2^{-(x^2-12)} = 2^{12 - x^2} \)
\( 8 = 2^3 \)
Inecuția devine:
\( 2^{12 - x^2} \geq 2^3 \)
Deoarece baza 2 > 1, sensul rămâne:
\( 12 - x^2 \geq 3 \)
\( -x^2 \geq -9 \)
Împărțim la -1 (schimbăm sensul):
\( x^2 \leq 9 \)
\( -3 \leq x \leq 3 \)
Răspuns: \( x \in [-3, 3] \).

Transformăm bazele:
\( \dfrac{2}{9} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2} \Rightarrow \left( \dfrac{2}{9} \right)^{x^2+x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2(x^2+x)} \)
\( 20.25 = \dfrac{81}{4} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^4 \)
\( (20.25)^{2x-7} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{8x-28} \)
Inecuția devine:
\( \left( \dfrac{3}{2} \right)^{-2x^2 - 2x} \geq \left( \dfrac{3}{2} \right)^{8x-28} \)
Deoarece baza \( \dfrac{3}{2} > 1 \), sensul rămâne:
\( -2x^2 - 2x \geq 8x - 28 \)
\( -2x^2 - 10x + 28 \geq 0 \)
Înmulțim cu -1 (schimbăm sensul):
\( 2x^2 + 10x - 28 \leq 0 \)
\( x^2 + 5x - 14 \leq 0 \)
Rădăcini: \( x = \dfrac{-5 \pm 9}{2} \Rightarrow x = -7, 2 \)
Parabola a > 0 → ≤ 0 între rădăcini
Răspuns: \( x \in [-7, 2] \).

Transformăm:
\( \left( \dfrac{64}{27} \right)^{-1} = \dfrac{27}{64} = \left( \dfrac{3}{4} \right)^3 \) (deoarece \( \dfrac{64}{27} = \left( \dfrac{4}{3} \right)^3 \), invers = (3/4)^3)
Inecuția: \( \left( \dfrac{3}{4} \right)^{10 + 6x - x^2} < \left( \dfrac{3}{4} \right)^3 \)
Baza 3/4 < 1 → schimbăm sensul:
\( 10 + 6x - x^2 > 3 \)
\( -x^2 + 6x + 7 > 0 \)
\( x^2 - 6x - 7 < 0 \) (înmulțit cu -1, schimbat sensul)
Rădăcini: \( x = \dfrac{6 \pm 8}{2} \Rightarrow x = 7, -1 \)
Parabola a > 0 → < 0 între rădăcini
Răspuns: \( x \in (-1, 7) \).

Cuprins

Explicație
Exerciții