Inecuatii logaritmice

Inecuația logaritmică este de forma:

\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \geq \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} < \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \leq \log_a {g(x)} \]

Metoda de Rezolvare

Caz 1: Baza logaritmului este un numar constant (\(a > 0\), \(a \neq 1\))

Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \]
Transformam inecuatia sa aiba aceeasi baza la logaritm in fiecare parte a inecuatiei, apoi cu ajutrul unei conditii scapam de logaritmi si lasam doar expresia dinauntrul logaritmilor. Fie aceasta inecuatie ca exemplu:
\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \] Rezolvăm inecuația logaritmică în funcție de valoarea bazei:
- Dacă \(a > 1\), păstrăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) > g(x) \]
- Dacă \(0 < a < 1\), schimbăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) < g(x) \]
Construim o axa comuna cu DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > 2 \]

Pasul 1: Determinarea DVA

Condiția logaritmului: \[ x - 5 > 0 \implies x > 5 \] Domeniul de valori admisibile este: \[ \text{DVA} = (5; +\infty) \]

Pasul 2: Rezolvarea inecuației

Scriem inecuația cu bazele egale: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Observăm că baza logaritmului este \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), deci schimbăm semnul inegalității: \[ x - 5 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Calculăm: \[ x - 5 < \frac{1}{4} \]
\[ x < \frac{1}{4} + 5 \implies x < \frac{1}{4} + \frac{5}{1} \implies x < \frac{1}{4} + \frac{20}{4} \implies x < \frac{21}{4} \]

Intervalul va fi \[ x \in \left( -\infty; \frac{21}{4} \right) \]

Pasul 3: Axa comuna cu DVA

Intersecția intervalelor este: \[ S = \left( 5; \frac{21}{4} \right) \]

Caz 2: Baza logaritmului este funcție de \(x\)

Fie aceasta inecuatie ca exemplu: \[ \log_{b(x)} {f(x)} \geq \log_{b(x)} {g(x)} \]

Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ b(x) > 0 \\ b(x) \neq 1 \end{cases} \]
Construim sistemul: \[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b(x) > 1 \\ f(x) \geq g(x) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b(x) < 1 \\ f(x) \leq g(x) \end{array} \right. \end{array} \right. \]
Construim axa comuna cu DVA.

Exemplu Rezolvat

Rezolvați în \(\mathbb{R}\):

\[ \log_{x+2}(x-1) > \log_{x+2} 3 \]

Pasul 1: Determinarea DVA:

\[ \text{DVA: } \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases} \]

Intersecția intervalelor este: \[ \text{DVA} = (1; +\infty) \]

Pasul 2: Rezolvarea inecuației

\[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x+2 > 1 \\ x-1 > 3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x+2 < 1 \\ x-1 < 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 1-2 \\ x > 3+1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < 1-2 \\ x < 3+1 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \]

Construim axa pentru fiecare sistem.
Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right.\)

\[x \in (4; +\infty) \]

Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \)

\[x \in (-\infty; -1) \]

Pentru tot sistemul:

\[ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \]

Pasul 3: Axa comuna cu DVA

Intersecția soluției cu DVA este: \[ x \in (4; +\infty) \]

Raspuns

\[ S = (4; +\infty) \]

Exerciții

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_2 (3x - 1) > 4 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_3 (x + 5) \leq 2 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_5 (2x - 4) < 1 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}} (x - 3) > -2 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_4 (x^2 - 1) \geq 1 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle 2\log_3 (x - 1) < 4 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_2 x + \log_2 (x + 3) > 3 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_5 (4 - x) > 0 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_{\frac{1}{3}} (2x + 1) \leq -1 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) inecuația: \(\displaystyle \log_2 (x^2 + 3x + 2) > 2 \)

Răspunsuri

\( x \in \left( \frac{17}{3}, +\infty \right) \)

\( x \in (-5, 4] \)

\( x \in (2, \frac{9}{2}) \)

\( x \in (3, 4) \)

\( x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, +\infty) \)

\( x \in (1, 10) \)

\( x \in (1, +\infty) \)

\( x \in (-\infty, 3) \)

\( x \in [1, +\infty) \)

\( x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \)

Rezolvări

Mai întâi, domeniul: \( 3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3} \).
Baza 2 > 1, deci logaritmul este crescător.
Transformăm în formă exponențială:
\( 3x - 1 > 2^4 \)
\( 3x - 1 > 16 \)
\( 3x > 17 \)
\( x > \frac{17}{3} \).
Intersectăm cu domeniul: \( x > \frac{17}{3} \) (deoarece \( \frac{17}{3} > \frac{1}{3} \)).
Răspuns: \( x \in \left( \frac{17}{3}, +\infty \right) \).

Domeniu: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \).
Baza 3 > 1 → logaritmul crescător.
\( x + 5 \leq 3^2 \)
\( x + 5 \leq 9 \)
\( x \leq 4 \).
Intersectăm cu domeniul: \( -5 < x \leq 4 \).
Răspuns: \( x \in (-5, 4] \).

Domeniu: \( 2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2 \).
Baza 5 > 1.
\( 2x - 4 < 5^1 \)
\( 2x - 4 < 5 \)
\( 2x < 9 \)
\( x < \frac{9}{2} \).
Intersectăm: \( 2 < x < \frac{9}{2} \).
Răspuns: \( x \in (2, \frac{9}{2}) \).

Domeniu: \( x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3 \).
Baza \( \frac{1}{2} \) (între 0 și 1), deci logaritmul este descrescător → sensul inegalității se schimbă.
Transformăm: \( x - 3 < \left( \frac{1}{2} ight)^{-2} \) (sens schimbat)
\( x - 3 < 4 \)
\( x < 7 \).
Intersectăm cu domeniul: \( 3 < x < 7 \).
Răspuns: \( x \in (3, 7) \).

Domeniu: \( x^2 - 1 > 0 \Rightarrow |x| > 1 \).
Baza 4 > 1.
\( x^2 - 1 \geq 4^1 = 4 \)
\( x^2 \geq 5 \)
\( |x| \geq \sqrt{5} \).
Intersectăm cu domeniul: \( x \leq -\sqrt{5} \) sau \( x \geq \sqrt{5} \).
Răspuns: \( x \in (-\infty, -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}, +\infty) \).

Domeniu: \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \).
Împărțim la 2: \( \log_3 (x - 1) < 2 \).
Baza 3 > 1.
\( x - 1 < 3^2 = 9 \)
\( x < 10 \).
Intersectăm: \( 1 < x < 10 \).
Răspuns: \( x \in (1, 10) \).

Domeniu: \( x > 0 \) și \( x + 3 > 0 \) ⇒ \( x > 0 \).
Folosim proprietatea: \( \log_2 [x(x+3)] > 3 \).
\( x(x + 3) > 2^3 = 8 \)
\( x^2 + 3x - 8 > 0 \).
Rădăcinile: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2} \). Soluția: \( x > \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} \approx 1.7 \).
Intersectăm cu x > 0: \( x > \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} \).

Domeniu: \( 4 - x > 0 \Rightarrow x < 4 \).
Baza 5 > 1.
\( 4 - x > 5^0 = 1 \)
\( 4 - x > 1 \)
\( -x > -3 \)
\( x < 3 \) (sens schimbat).
Intersectăm: \( x < 3 \) (și x < 4).
Răspuns: \( x \in (-\infty, 3) \).

Domeniu: \( 2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2} \).
Baza \( \frac{1}{3} < 1 \), deci descrescător → sensul se schimbă la transformare.
\( 2x + 1 \geq \left( \frac{1}{3} ight)^{-1} = 3 \) (sens schimbat)
\( 2x + 1 \geq 3 \)
\( 2x \geq 2 \)
\( x \geq 1 \).
Intersectăm: \( x \geq 1 \).
Răspuns: \( x \in [1, +\infty) \).

Domeniu: \( x^2 + 3x + 2 > 0 \) ⇒ \( (x+1)(x+2) > 0 \) ⇒ \( x < -2 \) sau \( x > 1 \).
Baza 2 > 1.
\( x^2 + 3x + 2 > 4 \)
\( x^2 + 3x - 2 > 0 \).
Rădăcinile approx. -3.56 și 0.56. Soluția: x < -3.56 sau x > 0.56.
Intersectăm cu domeniul: \( x < -2 \) sau \( x > 1 \).

Cuprins

Explicație
Exerciții