Inecuatii logaritmice
Inecuația logaritmică este de forma:
\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \geq \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} < \log_a {g(x)}, \quad \log_a {f(x)} \leq \log_a {g(x)} \]
Metoda de Rezolvare
Caz 1: Baza logaritmului este un numar constant (\(a > 0\), \(a \neq 1\))
- Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \]
- Transformam inecuatia sa aiba aceeasi baza la logaritm in fiecare parte a inecuatiei, apoi cu ajutrul unei conditii scapam de logaritmi si lasam doar expresia dinauntrul logaritmilor. Fie aceasta inecuatie ca exemplu:
\[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \] Rezolvăm inecuația logaritmică în funcție de valoarea bazei:- Dacă \(a > 1\), păstrăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) > g(x) \]
- Dacă \(0 < a < 1\), schimbăm semnul inegalității: \[ \log_a {f(x)} > \log_a {g(x)} \implies f(x) < g(x) \]
- Construim o axa comuna cu DVA.
Exemplu Rezolvat
Rezolvați în \(\mathbb{R}\):
\[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > 2 \]
Pasul 1: Determinarea DVA
Condiția logaritmului: \[ x - 5 > 0 \implies x > 5 \] Domeniul de valori admisibile este: \[ \text{DVA} = (5; +\infty) \]
Pasul 2: Rezolvarea inecuației
Scriem inecuația cu bazele egale: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x-5) > \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Observăm că baza logaritmului este \( 0 < \frac{1}{2} < 1 \), deci schimbăm semnul inegalității: \[ x - 5 < \left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
Calculăm: \[ x - 5 < \frac{1}{4} \]
\[ x < \frac{1}{4} + 5 \implies x < \frac{1}{4} + \frac{5}{1} \implies x < \frac{1}{4} + \frac{20}{4} \implies x < \frac{21}{4} \]
Intervalul va fi \[ x \in \left( -\infty; \frac{21}{4} \right) \]
Pasul 3: Axa comuna cu DVA
Intersecția intervalelor este: \[ S = \left( 5; \frac{21}{4} \right) \]
Caz 2: Baza logaritmului este funcție de \(x\)
- Determinăm domeniul de valori admisibile (DVA): \[ \text{DVA: } \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \\ b(x) > 0 \\ b(x) \neq 1 \end{cases} \]
- Construim sistemul: \[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} b(x) > 1 \\ f(x) \geq g(x) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} b(x) < 1 \\ f(x) \leq g(x) \end{array} \right. \end{array} \right. \]
- Construim axa comuna cu DVA.
Exemplu Rezolvat
Rezolvați în \(\mathbb{R}\):
\[ \log_{x+2}(x-1) > \log_{x+2} 3 \]
Pasul 1: Determinarea DVA:
\[ \text{DVA: } \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 2 > 0 \\ x + 2 \neq 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -2 \\ x \neq -1 \end{cases} \]
Intersecția intervalelor este: \[ \text{DVA} = (1; +\infty) \]
Pasul 2: Rezolvarea inecuației
\[ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x+2 > 1 \\ x-1 > 3 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x+2 < 1 \\ x-1 < 3 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > 1-2 \\ x > 3+1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < 1-2 \\ x < 3+1 \end{array} \right. \end{array} \right. \implies \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \end{array} \right. \]
Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x > -1 \\ x > 4 \end{array} \right.\)
\[x \in (4; +\infty) \]
Pentru \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x < -1 \\ x < 4 \end{array} \right. \)
\[x \in (-\infty; -1) \]
Pentru tot sistemul:
\[ x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty) \]
Pasul 3: Axa comuna cu DVA
Intersecția soluției cu DVA este: \[ x \in (4; +\infty) \]
Raspuns
\[ S = (4; +\infty) \]