Șiruri

Definiție

Un șir este o succesiune ordonată de numere, fiecare termen fiind notat cu \( a_n \) sau \( x_n \), unde \( n \) reprezintă poziția termenului în șir. Un șir poate fi definit printr-o formulă predefinită care exprimă termenul general \( a_n \) în funcție de \( n \).

Exemplu de șir cu formulă predefinită

Considerăm șirul definit de relația:

\[ a_n = 2n + 3 \]

Pentru a calcula primii termeni ai șirului, înlocuim pe \( n \) cu valorile 1, 2, 3, și așa mai departe:

Primul termen: \( a_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \)
Al doilea termen: \( a_2 = 2 \cdot 2 + 3 = 7 \)
Al treilea termen: \( a_3 = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \)
Al patrulea termen: \( a_4 = 2 \cdot 4 + 3 = 11 \)

Astfel, primii termeni ai șirului sunt: \( 5, 7, 9, 11, \dots \).

Exerciții Rezolvate

Exercițiul 1

Fie șirul definit prin formula:

\[ a_n = n^2 - 3n + 2 \]

Determinați primii 5 termeni ai șirului.

Rezolvare:

Pentru \( n = 1 \):
Pentru \( n = 2 \):
Pentru \( n = 3 \):
Pentru \( n = 4 \):
Pentru \( n = 5 \):

Primii 5 termeni ai șirului sunt: \( 0, 0, 2, 6, 12 \).

Exercițiul 2

Fie șirul definit de:

\[ a_n = 3^n - n \]

Calculați al treilea termen al șirului.

Rezolvare:

Înlocuim \( n = 3 \) în formula dată:

\[ a_3 = 3^3 - 3 = 27 - 3 = 24 \]

Al treilea termen al șirului este: \( 24 \).

Exerciții

Determinați termenul \( a_{10} \) al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), dacă \( a_3 = 7 \) și \( a_5 = 23 \).

Se consideră șirul \( (a_n)_{n \geq 1} \), \( a_{n+1} = 5a_n + 2 \), \( a_1 = -1 \). Determinați suma primilor patru termeni ai șirului.

Fie progresia aritmetică \((a_n)_{n \geq 1}\), în care \(a_3 = 5\) și \(a_6 = 11\). Calculați \(a_9\).

Determinați termenul \( a_{50} \) al progresiei aritmetice \( (a_n)_{n \geq 1} \), dacă \( a_6 = 26 \) și \( r = -2 \).

Se consideră o progresie aritmetică cu rația \(4\) și \(a_6 = -10\). Calculați \(a_8\).

Calculați \(b_8\), dacă se știe că \(b_7=49\) și \(b_9=81\) sunt termeni ai unei progresii geometrice cu termeni pozitivi.

Calculați primul termen al unei progresii geometrice cu rația \(2\), iar al treilea termen egal cu \(56\).

Determinați rația progresiei geometrice \( (b_n)_{n \geq 1} \), dacă \( b_3 = -9 \) și \( b_8 = -\frac{1}{27} \).

Determinați rația progresiei geometrice \( (b_n)_{n \geq 1} \), dacă \(\displaystyle b_2 = -\frac{1}{2} \) și \(\displaystyle b_7 = \frac{1}{64} \).

Se consideră o progresie geometrică în care \(b_1 = 7\) și \(b_2 = 14\). Calculați \(b_5\).

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \displaystyle \frac{5n-2}{2n-1}\)

Studiați monotonia șirului \(\displaystyle (x_n)_{n \geq 1}, \, x_n = \frac{2n+3}{3n+2}\)

Studiati marginea șirului \(\displaystyle x_n = \frac{2n + 3}{8n - 11}\)

Studiați mărginirea șirului \(\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, a_n = \frac{2n - 2}{n + 1} \).

Studiați mărginirea șirului \( \displaystyle (a_n)_{n \geq 1}, a_n = \displaystyle \frac{2n}{n + 3} \).

Răspunsuri

\( a_{10} = 63 \)

-80

\( a_9 = 17 \)

\( a_{50} = -62 \)

\( a_8 = -2 \)

\( b_8 = 63 \)

\( b_1 = 14 \)

\( q = \frac{1}{3} \)

\( q = -\frac{1}{2} \)

\( b_5 = 112 \)

Șirul este strict descrescător

șirul este descrescător

șirul este mărginit.

\(0 \leq a_n < 2\), șirul este mărginit

\( \displaystyle \frac{1}{2} \leq a_n < 2 \), deci șir mărginit

Rezolvări

Diferența între termeni consecutivi:
\( a_5 - a_3 = 23 - 7 = 16 \)
aceasta corespunde la 2 pași, deci rația \( r = \displaystyle \frac{16}{2} = 8 \)
Calculăm \(a_1\) folosind \(a_3\):
\( a_3 = a_1 + 2r \Rightarrow 7 = a_1 + 16 \Rightarrow a_1 = -9 \)
Calculăm \(a_{10}\):
\( a_{10} = a_1 + 9r = -9 + 9 \cdot 8 = -9 + 72 = 63 \)
Răspuns: \( a_{10} = 63 \)

Calculăm primii patru termeni:
\( a_1 = -1 \)
\( a_2 = 5(-1) + 2 = -5 + 2 = -3 \)
\( a_3 = 5(-3) + 2 = -15 + 2 = -13 \)
\( a_4 = 5(-13) + 2 = -65 + 2 = -63 \)
Calculăm suma:
\( S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -1 - 3 - 13 - 63 = -80 \)
Răspuns: suma primilor patru termeni este -80.

Calculăm rația:
\( a_6 - a_3 = 11 - 5 = 6 \) (3 pași)
\( r = \displaystyle \frac{6}{3} = 2 \)
Calculăm \(a_9\) folosind \(a_6\):
\( a_9 = a_6 + 3r = 11 + 3 \cdot 2 = 11 + 6 = 17 \)
Răspuns: \( a_9 = 17 \)

Folosim formula generală:
\( a_n = a_6 + (n-6)r \)
Pentru \(n = 50\):
\( a_{50} = 26 + (50-6)(-2) = 26 + 44 \cdot (-2) = 26 - 88 = -62 \)
Răspuns: \( a_{50} = -62 \)

Calculăm \(a_7\):
\( a_7 = a_6 + r = -10 + 4 = -6 \)
Calculăm \(a_8\):
\( a_8 = a_7 + r = -6 + 4 = -2 \)
sau direct:
\( a_8 = a_6 + 2r = -10 + 8 = -2 \)
Răspuns: \( a_8 = -2 \)

Într-o progresie geometrică:
\( b_9 = b_8 \cdot q \) și \( b_8 = b_7 \cdot q \)
Deci:
\( b_9 = b_7 \cdot q^2 \Rightarrow 81 = 49 \cdot q^2 \)
\( q^2 = \displaystyle \frac{81}{49} = \left( \displaystyle \frac{9}{7} \right)^2 \Rightarrow q = \displaystyle \frac{9}{7} \) (pozitiv)
Calculăm \(b_8\):
\( b_8 = b_7 \cdot q = 49 \cdot \displaystyle \frac{9}{7} = 7 \cdot 9 = 63 \)
Răspuns: \( b_8 = 63 \)

Formula generală:
\( b_3 = b_1 \cdot q^2 \)
Avem \( b_3 = 56 \), \( q = 2 \):
\( 56 = b_1 \cdot 2^2 \Rightarrow 56 = b_1 \cdot 4 \Rightarrow b_1 = \displaystyle \frac{56}{4} = 14 \)
Răspuns: primul termen este 14.

Formula:
\( b_8 = b_3 \cdot q^{5} \)
\( -\displaystyle \frac{1}{27} = -9 \cdot q^5 \)
\( q^5 = \displaystyle \frac{1/27}{9} = \displaystyle \frac{1}{243} = \left( \displaystyle \frac{1}{3} \right)^5 \)
\( q = \displaystyle \frac{1}{3} \)
Răspuns: \( q = \displaystyle \frac{1}{3} \)

Formula:
\( b_7 = b_2 \cdot q^{5} \)
\( \displaystyle \frac{1}{64} = -\displaystyle \frac{1}{2} \cdot q^5 \)
\( q^5 = \displaystyle \frac{1/64}{-1/2} = -\displaystyle \frac{1}{32} = -\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^5 \)
\( q = -\displaystyle \frac{1}{2} \)
Răspuns: \( q = -\displaystyle \frac{1}{2} \)

Calculăm rația:
\( q = \displaystyle \frac{b_2}{b_1} = \displaystyle \frac{14}{7} = 2 \)
Calculăm \(b_5\):
\( b_5 = b_1 \cdot q^{4} = 7 \cdot 2^4 = 7 \cdot 16 = 112 \)
Răspuns: \( b_5 = 112 \)

Calculăm diferența:
\( x_{n+1} = \displaystyle \frac{5(n+1)-2}{2(n+1)-1} = \displaystyle \frac{5n+3}{2n+1} \)
\( x_{n+1} - x_n = \displaystyle \frac{5n+3}{2n+1} - \displaystyle \frac{5n-2}{2n-1} \)
Aducem la același numitor:
\( x_{n+1} - x_n = \displaystyle \frac{(5n+3)(2n-1) - (5n-2)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \)
Dezvoltăm numeratorul:
\( (5n+3)(2n-1) = 10n^2 - 5n + 6n - 3 = 10n^2 + n - 3 \)
\( (5n-2)(2n+1) = 10n^2 + 5n - 4n - 2 = 10n^2 + n - 2 \)
\( 10n^2 + n - 3 - (10n^2 + n - 2) = -1 \)
Deci:
\( x_{n+1} - x_n = \displaystyle \frac{-1}{(2n+1)(2n-1)} < 0 \quad \forall n \geq 1 \)
Concluzie: șirul este strict descrescător.

Calculăm primul termen:
\( a_1 = \displaystyle \frac{2 \cdot 1}{1 + 3} = \displaystyle \frac{2}{4} = \displaystyle \frac{1}{2} \)
Determinăm limita:
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n + 3} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{3}{n}} = 2 \)
Șirul este crescător (de la \(\displaystyle \frac{1}{2}\) spre 2, dar niciodată nu atinge 2).
Deci: \( \displaystyle \frac{1}{2} \leq a_n < 2 \)
Răspuns: șirul este mărginit.

Cuprins

Explicație
Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări