Item 5 - toate tipurile de exerciții

Exerciții

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația Rezolvați în R ecuația \( 10^{x}-2 \cdot 25^{x}+4^{x}=0 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,25)^x = \frac{128}{2^{x-1}} \)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^{-4x - 5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27}\).

\( 0,6 \cdot \left( \frac{25}{9} \right)^{x^2 - 12} = \left( \frac{27}{125} \right)^3 \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = 4^{-x} \cdot 8^{-4} \)

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \frac{x+2}{x-2} - \frac{x^2}{x^2 - 4} = 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}+3x-4\right)=\log _{\frac{1}{3}}(2 x+2) \)

Rezolvați în \(\mathbb{R}\) ecuația \(\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-5x + 12} = 3\).

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \left(9-x^{2}\right) \sqrt{2-x}=0 \)

Fie \(D(x) = \begin{vmatrix} \log_2 x & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\). Rezolvați în \(\mathbb{R}\) inecuația \(D(x) \leq 0\).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( \displaystyle \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} - \frac{x-6}{3} = 0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \( \displaystyle \frac{2+\log _{3} x}{\log _{3}^{2} x-4}=0 \)

Să se rezolve în \( \mathbb{R} \) ecuația \(\displaystyle \frac{2x - 8}{\sqrt{6 - x}} + \sqrt{6 - x} = 3 \).

Rezolvați în \( \mathbb{R} \) ecuația: \( (0,25)^x = \frac{128}{2^{x-1}} \)

Să se rezolve în \(\mathbb{R}\) ecuația \(9^{-4x - 5} = 3^{-x} \cdot \frac{1}{27}\).

Răspunsuri

\( S=\{0\} \)

\( x = 3 \)

\( x = -1 \)

\( x = \pm 3 \)

\( x = 0 \)

\( S = \{0\} \)

\( S = \{2\} \)

\( S = \{-3\} \)

\( S = \{-3, 2\} \)

\( S = (1, 2] \)

\( x = -5 \)

\( \displaystyle S=\varnothing \)

\(S=\{-10;5\}\)

\( x = -8 \)

\( x = -1 \)

Rezolvări

Rezolvare:
Împărțind fiecare membru al ecuației la \( 4^{x} \), obținem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}-2 \cdot\left(\frac{5}{2}\right)^{2 x}+1=0 \).
Efectuăm substituția \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=t, t>0 \) și obținem ecuația \( 2 t^{2}-t-1=0 \) cu soluția \(\displaystyle \left[\begin{array}{c}t=1 \\ t=-\frac{1}{2}\end{array}\right. \). Doar \( t=1 \) satisface condiția \( t>0 \).
Revenind la substituție, avem \(\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)^{x}=1=\left(\frac{5}{2}\right)^{0} \Leftrightarrow x=0 \).

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( 0,25 = \frac{1}{4} = 2^{-2} \)
\( 128 = 2^7 \)
Ecuația devine:
\( (2^{-2})^x = \frac{2^7}{2^{x-1}} \)
\( 2^{-2x} = 2^{7 - (x-1)} \)
\( 2^{-2x} = 2^{8 - x} \)
Egalează exponenții (baza 2 > 1):
\( -2x = 8 - x \)
\( -2x + x = 8 \)
\( -x = 8 \)
\( x = -8 \)
Răspuns: \( x = -8 \)

Transformăm bazele în puteri ale lui 3:
\( 9 = 3^2 \Rightarrow 9^{-4x-5} = (3^2)^{-4x-5} = 3^{-8x-10} \)
\( 27 = 3^3 \Rightarrow \frac{1}{27} = 3^{-3} \)
Ecuația devine:
\( 3^{-8x-10} = 3^{-x} \cdot 3^{-3} \)
\( 3^{-8x-10} = 3^{-x-3} \)
Egalează exponenții (baza 3 > 1):
\( -8x - 10 = -x - 3 \)
\( -8x + x = -3 + 10 \)
\( -7x = 7 \)
\( x = -1 \)
Răspuns: \( x = -1 \)

Transformăm bazele:
\( 0,6 = \frac{3}{5} \)
\( \frac{25}{9} = \left( \frac{5}{3} \right)^2 \)
\( \frac{27}{125} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
Ecuația devine:
\( \frac{3}{5} \cdot \left( \left( \frac{5}{3} \right)^2 \right)^{x^2 - 12} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
\( \frac{3}{5} \cdot \left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 - 12)} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
\( \left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 - 12) - 1} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
\( \left( \frac{5}{3} \right)^{2(x^2 - 12) - 1} = \left( \frac{5}{3} \right)^{-3} \)
Egalează exponenții (baza > 1):
\( 2(x^2 - 12) - 1 = -3 \)
\( 2x^2 - 24 - 1 = -3 \)
\( 2x^2 - 25 = -3 \)
\( 2x^2 = 22 \)
\( x^2 = 11 \)
\( x = \pm \sqrt{11} \)
Răspuns: \( x = \pm \sqrt{11} \)

Transformăm bazele în puteri ale lui 2:
\( \frac{1}{8} = 2^{-3} \Rightarrow \left(2^{-3}\right)^{\frac{2x^2}{3}} = 2^{-2x^2} \)
\( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{-x} = 2^{-2x} \)
\( 8 = 2^3 \Rightarrow 8^{-4} = 2^{-12} \)
Ecuația devine:
\( 2^{-2x^2} = 2^{-2x} \cdot 2^{-12} = 2^{-2x - 12} \)
Egalează exponenții:
\( -2x^2 = -2x - 12 \)
\( 2x^2 - 2x - 12 = 0 \)
\( x^2 - x - 6 = 0 \)
\( (x - 3)(x + 2) = 0 \)
\( x = 3 \quad \text{sau} \quad x = -2 \)
Răspuns: \( S = \{-2, 3\} \)

Domeniul de definiție:
\( x \neq 2 \), \( x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \)
Aducem la aceeași parte:
\( \displaystyle \frac{x+2}{x-2} - \frac{x^2}{(x-2)(x+2)} = 0 \)
MMC = (x-2)(x+2)
\( \displaystyle \frac{(x+2)^2 - x^2}{(x-2)(x+2)} = 0 \)
\( \displaystyle \frac{x^2 + 4x + 4 - x^2}{(x-2)(x+2)} = 0 \)
\( \displaystyle \frac{4x + 4}{(x-2)(x+2)} = 0 \)
\( 4x + 4 = 0 \)
\( x = -1 \)
Răspuns: \( x = -1 \)

Baza aceeași → argumentele egale:
\( x^2 + 3x - 4 = 2x + 2 \)
\( x^2 + x - 6 = 0 \)
\( (x + 3)(x - 2) = 0 \)
\( x = -3 \quad \text{sau} \quad x = 2 \)
Domeniul de definiție:
\( x^2 + 3x - 4 > 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) > 0 \Rightarrow x < -4 \text{ sau } x > 1 \)
\( 2x + 2 > 0 \Rightarrow x > -1 \)
Intersecție:
\( x > 1 \)
Verificăm:
\( x = -3 \notin \text{domeniu} \)
\( x = 2 \in \text{domeniu} \)
Răspuns: \( S = \{2\} \)

Domeniul de definiție:
\( -x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \)
\( -5x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \leq \frac{12}{5} \)
Intersecție: \( x \leq 0 \)
Ecuația:
\( \sqrt{-x} \cdot \sqrt{-5x + 12} = 3 \)
Ridicăm la pătrat:
\( (-x)(-5x + 12) = 9 \)
\( 5x^2 - 12x = 9 \)
\( 5x^2 - 12x - 9 = 0 \)
\( \Delta = 144 + 180 = 324 = 18^2 \)
\( x = \frac{12 \pm 18}{10} \Rightarrow x = 3 \quad \text{sau} \quad x = -0.6 \)
Verificăm în domeniu \( x \leq 0 \):
\( x = 3 > 0 \Rightarrow exclus \)
\( x = -0.6 \leq 0 \Rightarrow valid \)
Răspuns: \( x = -0.6 \)

Produsul este zero când cel puțin un factor este zero:
1. \( 9 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \)
2. \( \sqrt{2 - x} = 0 \Rightarrow 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Domeniul radicalului:
\( 2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \)
Verificăm soluțiile:
- \( x = 3 \): \( 3 > 2 \Rightarrow exclus \)
- \( x = -3 \): \( -3 \leq 2 \Rightarrow valid \)
- \( x = 2 \): \( 2 \leq 2 \Rightarrow valid \)
Răspuns: \( S = \{-3, 2\} \)

Calculăm determinantul:
\( D(x) = \log_2 x \cdot 1 - 1 \cdot (-1) = \log_2 x + 1 \)
Inecuția:
\( \log_2 x + 1 \leq 0 \)
\( \log_2 x \leq -1 \)
Baza 2 > 1 → funcție crescătoare:
\( x \leq 2^{-1} = \frac{1}{2} \)
Domeniul logaritmului:
\( x > 0 \)
Intersecție:
\( 0 < x \leq \frac{1}{2} \)
Răspuns: \( S = \left( 0, \frac{1}{2} \right] \)

Domeniul de definiție:
\( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)
Aducem la aceeași parte:
\( \displaystyle \frac{x^2 + 12x + 20}{x+2} - \frac{x-6}{3} = 0 \)
MMC = 3(x + 2)
\( \displaystyle \frac{3(x^2 + 12x + 20) - (x-6)(x+2)}{3(x+2)} = 0 \)
Numeratorul = 0:
\( 3x^2 + 36x + 60 - (x^2 - 4x - 12) = 0 \)
\( 3x^2 + 36x + 60 - x^2 + 4x + 12 = 0 \)
\( 2x^2 + 40x + 72 = 0 \)
\( x^2 + 20x + 36 = 0 \)
\( \Delta = 400 - 144 = 256 = 16^2 \)
\( x = \frac{-20 \pm 16}{2} \Rightarrow x = -2 \quad \text{sau} \quad x = -18 \)
Excludem \( x = -2 \) (nedefinit)
Răspuns: \( x = -18 \)

Pasul 1: Pentru ca o fracție să fie zero, numărătorul trebuie să fie zero și numitorul diferit de zero.
Deci, \( 2 + \log_3 x = 0 \) și \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \).
Pasul 2: Rezolvăm ecuația \( 2 + \log_3 x = 0 \):
\(\displaystyle \log_3 x = -2\)
\(\displaystyle x = 3^{-2} = \frac{1}{9}\)
Pasul 3: Verificăm condiția \( \log_3^2 x - 4 \neq 0 \), adică \( \log_3^2 x \neq 4 \), deci \( \log_3 x \neq \pm 2 \), adică \( x \neq 3^2 = 9 \) și \( x \neq 3^{-2} = \frac{1}{9} \).
Soluția \( x = \frac{1}{9} \) nu respectă această condiție, deci nu este validă.
Pasul 4: Condiția de existență a logaritmului: \( x > 0 \). Soluția \( x = \frac{1}{9} \) respectă această condiție.

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări