Item 10 - toate tipurile de exerciții

Exerciții

Fie funcția \(f : (0; +\infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 \ln x\):
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \(f\).
b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \(f\) în punctul \(x_0 = 1\).
c) Calculați \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\displaystyle \frac{f(x)}{\ln x} - 5\right)^2\).

Se consideră funcţia \( f: R \backslash\{4\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 x+1}{x-4} \).
a) Determinați ecuația asimptotei orizontale a funcției \( f \).
b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei \( f \).
c) Calculaţi integrala \( I=\displaystyle \int_{-2}^{3} f(x) d x \).

Fie funcția \(\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{-3\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x) = \frac{3x^{2}}{x+3} \)
a) Determinați extremele locale ale funcției \( f \).
b) Determinați asimptota oblică la \( +\infty \) a graficului funcției \( f \).
c) Calculați: \(\displaystyle \int_{4}^{64} \frac{f(x)(x+3)}{x(1+\sqrt{x})} \, dx. \)

Fie funcția \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = \ln(x^2 + 4) \).
a) Aflați punctele de inflexiune ale funcției \( f \).
b) Fie funcția \(\displaystyle g : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{f(x)}{x} \). Calculați asimptota orizontală la \( +\infty \) a funcției \( g \).
c) Calculați \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{3}+3 x}{x^{2}+1} \).
a) Să se determine ecuația asimptotei oblice către \( -\infty \) la graficul funcției \( f \).
b) Studiați monotonia funcției \( f \).
c) Calculați \( I=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) d x \).

Fie \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 - 6x \).
a) Determinați punctele de extrem local ale funcției \( f \).
b) Determinați valoarea numerică a ariei figurii plane mărginită de graficul funcției \( f \), axa \( O_x \) și dreptele \( x = 1, x = \sqrt{3} \).
c) Fie funcția \(\displaystyle h : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{f(x)}{x} \). Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( h \), dacă tangenta dusă la graficul funcției formează cu direcția pozitivă a axei \( O_x \) un unghi de \( 45^\circ \).

Fie \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, f(x) = -x^2 + 4x\).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa Oy.
b) Comparați \(\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{f(x)}{x - 4}\) cu \(f(e).\)
c) Fie funcția \(\displaystyle g : [0, 2] \to \mathbb{R}, \, g(x) = e^{\frac{x}{2}} \cdot \sqrt{\frac{f(x)}{4 - x}}\). Determinați valoarea numerică a volumului corpului de rotație obținut prin rotirea subgraficului funcției g în jurul axei \(O_x\).

Fie funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R},\ f(x) = 2 \sin^2 x - \sin 2x \).
a) Determinați soluțiile ecuației \( f(x) = 0 \) pe intervalul \( [\pi,\ 2\pi] \).
b) Pentru funcția \( f:(0,\ 2\pi) \rightarrow \mathbb{R} \), determinați o primitivă a lui \( f \) al cărei grafic trece prin punctul \( A\left( \displaystyle \frac{\pi}{2},\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) \).
c) Determinați valorile reale ale parametrului \( b \) pentru care dreapta \( y = 2x + b \) este tangentă la graficul funcției \( f \) în punctul \( x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{4} \).

Se consideră funcția \( f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}-x+1}{x-1} \).
a) Să se scrie ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de abscisă \( x_{0}=3 \).
b) Determinaţi punctele de extrem local şi valorile funcţiei în punctele de extrem.
c) Să se determine primitiva \( F(x) \) a funcției \( f(x) \), graficul căreia trece prin punctul \( A(2 ; 5) \).

Fie funcția \( \displaystyle f : \mathbb{R} \setminus \{\pm \sqrt{2}\} \to \mathbb{R}, f(x) = \frac{x^3 - 1}{x^2 - 2} \).
a) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției \( f \) în punctul de intersecție al graficului funcției \( f \) cu axa \( Ox \).
b) Determinați valoarea numerică a ariei subgraficului funcției: \(\displaystyle g : [-1, 0] \to \mathbb{R}, \quad g(x) = -\frac{1}{f(x)} - \frac{2}{x^3 - 1}. \)
c) Calculați: \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{f(x)\left(x^2 - 2\right) + 2x^2} - x\right) \)

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
a) Determinați ecuațiile asimptotelor oblice ale graficului funcției \( f \).
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției \( f \) și valorile funcției în aceste puncte.
c) Să se determine volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei \( O_x \) a suprafeței mărginită de axa \( O_x \) și de graficul funcției \( f \).

Se consideră funcția \( f: R \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{2 e^{x}}{1+e^{2 x}} \).
a) Să se calculeze limitele \( L_{1}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \) și \( L_{2}=\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \).
b) Să se afle punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se determine primitiva \( F(x) \) a funcţiei \( f(x) \), grafiul căreia trece prin origine.

Fie funcţia \( f: R \backslash\{2\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{x-2} \).
a) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției \( f \).
b) Aflaţi punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Calculați integrala \( I=\displaystyle \int_{3}^{4} f(x) d x \).

Se consideră funcția \( f: R \backslash\{1\} \rightarrow R, f(x)=\displaystyle \frac{x^{2}+x+2}{x-1} \).
a) Să se determine asimptota oblică la graficul funcției \( f \).
b) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcției \( f \).
c) Să se calculeze aria figurii mărginită de graficul funcției \( f \), de asimptota oblică şi de dreptele de ecuații \( x=2 \) și \( x=3 \).

Se consideră funcția \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = e^{2x} + e^{-2x} \).
a) Să se calculeze limita \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} \).
b) Să se determine punctele de extrem local ale funcției \( f \).
c) Să se afle aria figurii plane delimitate de graficul funcției \( f \), axa \( O_x \) și dreptele de ecuații \( x = 0 \) și \( x = 1 \).

Răspunsuri

a) \( \displaystyle x = e^{-\frac{1}{3}} \) este punct de minim; b) \(y = x-1 \); c) \(+\inf \)

a) Dreapta \( y=2 \) este asimptotă orizontală către \( +\infty \) şi \( -\infty \) la graficul funcției \( f \); b) Funcţia \( f \) este strict descrescătoare pe intervalele \( (-\infty ; 4) \) şi \( (4 ;+\infty) \); c) \( I=10-9 \ln 6 \).

a) \( f_{\max} = f(-6) = -36 \), \( f_{\min} = f(0) = 0 \);
b) \( y = 3x - 9 \);
c) \( 864 - 6\ln3 \)

a) \( x = -2 \) și \( x = 2 \) puncte de inflexiune
b) \( y = 0 \);
c) \( \ln5 + 4arctg \frac{1}{2} - 2 \)

a) \( y=x \) este asimptotǎ oblicå la \( -\infty ; b \) ) Funcţia \( f \) este strict crescătoare pe \( R \);c) \( I=0 \), deoarece funcţia \( f(x) \) este impară.

a) \( x = \sqrt{2} \, \text{punct de minim local}, x = -\sqrt{2} \, \text{punct de maxim local} \);
b) \( 4 \);
c) \( y = x - \frac{25}{4} \)

a) \( y = 4x \);
b) \( < \);
c) \( \pi(e^2+1) \)

a) \( S = \left\{ \pi,\ \displaystyle \frac{5\pi}{4},\ 2\pi \right\} \)
b) \( F(x) = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \)
c) \( b = -\displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) \( y=\displaystyle \frac{3}{4} x+\displaystyle \frac{5}{4} \); b) \( x=0 \) este punct de maxim local, \( f_{\max }=f(0)=-1 ; x=2 \) este punct de minim local, \( f_{\min }=f(2)=3 ; c) F(x)=\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\ln |x-1|+3 \).

a) \( y = -3x + 3 \);
b) \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln2 \);
c) \(\displaystyle \frac{2}{3} \)

a) Asimptote oblice: \( y = x - 3 \) spre \( +\infty \), \( y = -x + 3 \) spre \( -\infty \);
b) \( x = 1 \) este punct de minim local, cu valoarea \( f(1) = -\sqrt{2} \);
c) \( V = \pi \cdot \left( 6 - \frac{1}{2} \ln 10 - 8 \operatorname{arctg} 3 \right) \)

a) \( L_{1}=0 \quad \) si \( L_{2}=0 ; \) b) \( x=0 \) este punct de maxim local; c) \( F(x)=2 \operatorname{arctge}^{x}-\displaystyle \frac{\pi}{2} \).

a) \( y=x+2 \); b) \( x=0 \) este punct de maxim local, iar \( x=4 \) este punct de minim local; c) \( I=\displaystyle \frac{11}{2}+4 \ln 2 \).

a) Dreapta \( y=x+2 \) este asimptotă oblică la \( -\infty \) și la \( +\infty \); \( b \) ) Funcția \( f \) este cresčătoare pe intervalele \( (-\infty ;-1] \) şi \( [3 ;+\infty) \) şi este descrescătoare pe intervalele \( [-1 ; 1) \) şi \( [1 ; 3) ; c) A=4 \ln 2 \).

a) \( 0 \); b) \( x = 0 \) este punct de minim local; c) \( A = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^{2} - e^{-2}\right) \)

Rezolvări

a) Asimptota orizontală: \( \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x+1}{x-4} = 2 \), deci \( y = 2 \) este asimptotă orizontală.
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2(x-4) - (2x+1)}{(x-4)^2} = \displaystyle \frac{2x - 8 - 2x - 1}{(x-4)^2} = \displaystyle \frac{-9}{(x-4)^2} \). Deoarece \( f'(x) < 0 \) pentru orice \( x \neq 4 \), funcția \( f \) este strict descrescătoare pe intervalele \( (-\infty, 4) \) și \( (4, \infty) \).
c) \( \displaystyle \int_{-2}^{3} \displaystyle \frac{2x+1}{x-4} dx = \displaystyle \int_{-2}^{3} (2 + \displaystyle \frac{9}{x-4}) dx = [2x + 9 \ln |x-4|]_{-2}^{3} = (6 + 9 \ln 1) - (-4 + 9 \ln 6) = 6 + 0 + 4 - 9 \ln 6 = 10 - 9 \ln 6 \).

a) Asimptota oblică este de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x}{x(x^2+1)} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x}{x^3+x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3+3x}{x^2+1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3+3x - x(x^2+1)}{x^2+1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{x^2+1} = 0 \). Deci asimptota oblică este \( y = x \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(3x^2+3)(x^2+1) - (x^3+3x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \displaystyle \frac{3x^4 + 6x^2 + 3 - 2x^4 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = \displaystyle \frac{x^4+3}{(x^2+1)^2} \). Deoarece \( x^4+3 > 0 \) și \( (x^2+1)^2 > 0 \) pentru orice \( x \in R \), rezultă că \( f'(x) > 0 \) pentru orice \( x \in R \). Astfel, funcția \( f \) este strict crescătoare pe \( R \).
c) \( \displaystyle \int_{-1}^{1} \displaystyle \frac{x^3+3x}{x^2+1} dx \). Funcția \( f(x) = \displaystyle \frac{x^3+3x}{x^2+1} \) este impară (deoarece \( f(-x) = -f(x) \)). Atunci \( \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x) dx = 0 \).

a) Rezolvăm ecuația:
\( f(x) = 2 \sin^2 x - \sin 2x = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - 2 \sin x \cos x = 0 \Rightarrow 2 \sin x (\sin x - \cos x) = 0 \)
Rezultă: \( \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi \), respectiv \( \sin x = \cos x \Rightarrow x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \), cu \( k \in \mathbb{Z} \)
În intervalul \( [\pi,\ 2\pi] \):
– din \( x = k\pi \) obținem \( x = \pi \) și \( x = 2\pi \)
– din \( x = \displaystyle \frac{\pi}{4} + k\pi \), cu \( k = 1 \), obținem \( x = \displaystyle \frac{5\pi}{4} \)
Rezultă: \( S = \left\{ \pi,\ \displaystyle \frac{5\pi}{4},\ 2\pi \right\} \)

b) Calculăm primitiva:
\(\displaystyle \int f(x)\, dx = \int (2 \sin^2 x - \sin 2x)\, dx = \int (1 - \cos 2x - \sin 2x)\, dx \)
\( = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + C \)
Impunem condiția \( F\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} \right) = \displaystyle \frac{\pi}{2} \):
\( \displaystyle \frac{\pi}{2} = \displaystyle \frac{\pi}{2} - \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \sin(\pi) + \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \cos(\pi) + C = \displaystyle \frac{\pi}{2} - \displaystyle \frac{1}{2} + C \)
Rezultă \( C = \displaystyle \frac{1}{2} \)
Deci: \( F(x) = x - \displaystyle \frac{1}{2} \sin 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \cos 2x + \displaystyle \frac{1}{2} \)

c) Calculăm \( f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) \) și \( f'(\displaystyle \frac{\pi}{4}) \):
\( f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \left( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 - \sin(\displaystyle \frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0 \)
\( f'(x) = 4 \sin x \cos x - 2 \cos 2x = 2 \sin 2x - 2 \cos 2x \)
\( f'(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = 2 \cdot \sin(\displaystyle \frac{\pi}{2}) - 2 \cdot \cos(\displaystyle \frac{\pi}{2}) = 2 - 0 = 2 \)
Tangenta în punctul \( x_0 = \displaystyle \frac{\pi}{4} \):
\( y - f(\displaystyle \frac{\pi}{4}) = f'(\displaystyle \frac{\pi}{4})(x - \displaystyle \frac{\pi}{4}) \Rightarrow y = 2x - \displaystyle \frac{\pi}{2} \)
Comparăm cu \( y = 2x + b \Rightarrow b = -\displaystyle \frac{\pi}{2} \)

a) Ecuația tangentei este \( y - f(3) = f'(3) (x - 3) \). Avem \( f(3) = \displaystyle \frac{3^2 - 3 + 1}{3-1} = \displaystyle \frac{9 - 3 + 1}{2} = \displaystyle \frac{7}{2} \). \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x-1)(x-1) - (x^2-x+1)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 3x + 1 - x^2 + x - 1}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} \). Deci, \( f'(3) = \displaystyle \frac{3^2 - 2(3)}{(3-1)^2} = \displaystyle \frac{9 - 6}{4} = \displaystyle \frac{3}{4} \). Atunci ecuația tangentei este \( y - \displaystyle \frac{7}{2} = \displaystyle \frac{3}{4} (x - 3) \), deci \( y = \displaystyle \frac{3}{4} x - \displaystyle \frac{9}{4} + \displaystyle \frac{14}{4} = \displaystyle \frac{3}{4} x + \displaystyle \frac{5}{4} \).
b) Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( x^2 - 2x = 0 \), deci \( x(x-2) = 0 \). Atunci \( x = 0 \) și \( x = 2 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, 1) \cup (1, 2) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = 0 \) este punct de maxim local și \( x = 2 \) este punct de minim local. \( f(0) = \displaystyle \frac{0^2 - 0 + 1}{0 - 1} = -1 \) și \( f(2) = \displaystyle \frac{2^2 - 2 + 1}{2 - 1} = \displaystyle \frac{4 - 2 + 1}{1} = 3 \).
c) \( f(x) = \displaystyle \frac{x^2 - x + 1}{x-1} = x + \displaystyle \frac{1}{x-1} \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \int f(x) dx = \displaystyle \int (x + \displaystyle \frac{1}{x-1}) dx = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + C \). Din condiția \( F(2) = 5 \), avem \( \displaystyle \frac{2^2}{2} + \ln |2-1| + C = 5 \), deci \( 2 + 0 + C = 5 \), de unde \( C = 3 \). Deci, \( F(x) = \displaystyle \frac{x^2}{2} + \ln |x-1| + 3 \).

a) Calculăm panta asimptotei la \( x \to +\infty \):
\( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x}{x \sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2(1 - \frac{3}{x})}{x^2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} = 1 \)
\(\displaystyle n = \lim_{x \to \infty} f(x) - x = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 3x - x \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = -3 \Rightarrow y = x - 3 \)
Pentru \( x \to -\infty \), \( m = -1 \), \( n = 3 \Rightarrow y = -x + 3 \)
Deci, asimptotele oblice sunt: \( y = x - 3 \) pentru \( x \to +\infty \) și \( y = -x + 3 \) pentru \( x \to -\infty \)
b) Derivata funcției este:
\( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x - 3)(x^2 + 1) - (x^2 - 3x) \cdot x}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{x^3 + 2x - 3}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{(x - 1)(x^2 + x + 3)}{(x^2 + 1)^{3/2}} \)
Singurul punct critic este \( x = 1 \). Deoarece derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, rezultă că \( x = 1 \) este punct de minim local.
\( f(1) = \displaystyle \frac{1 - 3}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
c) Volumul este:
\( V = \pi \displaystyle \int_0^3 \left( \frac{x^2 - 3x}{\sqrt{x^2 + 1}} \right)^2 dx = \pi \int_0^3 \frac{(x^2 - 3x)^2}{x^2 + 1} dx = \pi \int_0^3 \frac{x^4 - 6x^3 + 9x^2}{x^2 + 1} dx \)
Descompunem: \( x^4 - 6x^3 + 9x^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 6x + 8) + (-x - 8) \)
Deci integrala devine:
\( V = \pi \int_0^3 (x^2 - 6x + 8 + \frac{-x - 8}{x^2 + 1}) dx \)
\( = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 8x - \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) - 8 \operatorname{arctg}(x) \right]_0^3 \)
Rezultatul este:
\( \pi \left( 9 - 27 + 24 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3) \right) = \pi (6 - \frac{1}{2} \ln(10) - 8 \operatorname{arctg}(3)) \)

a) \( L_{1} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \frac{2 \cdot 0}{1 + 0} = 0 \) și \( L_{2} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{1+e^{2x}} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2e^x}{e^{2x}(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x(\frac{1}{e^{2x}} + 1)} = 0 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{2e^x (1+e^{2x}) - 2e^x (2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x + 2e^{3x} - 4e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x - 2e^{3x}}{(1+e^{2x})^2} = \displaystyle \frac{2e^x(1 - e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} \). Punctele critice sunt date de \( f'(x) = 0 \), adică \( 1 - e^{2x} = 0 \), deci \( e^{2x} = 1 \), adică \( 2x = 0 \), deci \( x = 0 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \), deci \( f \) este crescătoare pe acest interval. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, \infty) \), deci \( f \) este descrescătoare pe acest interval. Deci, \( x = 0 \) este punct de maxim local.
c) \( F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2e^x}{1+e^{2x}} dx \). Fie \( t = e^x \), atunci \( dt = e^x dx \), deci \( dx = \displaystyle \frac{dt}{e^x} = \displaystyle \frac{dt}{t} \). Atunci \( F(x) = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2t}{1+t^2} \cdot \displaystyle \frac{dt}{t} = \displaystyle \int \displaystyle \frac{2}{1+t^2} dt = 2 \operatorname{arctg} t + C = 2 \operatorname{arctg} (e^x) + C \). Deoarece graficul trece prin origine, \( F(0) = 0 \). Atunci \( 2 \operatorname{arctg} (e^0) + C = 0 \), deci \( 2 \operatorname{arctg} 1 + C = 0 \), adică \( 2 \cdot \displaystyle \frac{\pi}{4} + C = 0 \), deci \( C = -\displaystyle \frac{\pi}{2} \). Deci \( F(x) = 2 \operatorname{arctg} (e^x) - \displaystyle \frac{\pi}{2} \).

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\frac{x^2}{x-2} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x-2} = 2 \). Deci asimptota oblică este \( y = x + 2 \).
b) Calculăm derivata: \( f'(x) = \displaystyle \frac{2x(x-2) - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - 4x - x^2}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 4x}{(x-2)^2} = \displaystyle \frac{x(x-4)}{(x-2)^2} \). Punctele critice sunt \( f'(x) = 0 \), deci \( x = 0 \) și \( x = 4 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (0, 2) \cup (2, 4) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale. Deci, \( x = 0 \) este punct de maxim local și \( x = 4 \) este punct de minim local.
c) Calculăm integrala: \( \displaystyle \int_{3}^{4} \displaystyle \frac{x^2}{x-2} dx \). Scriem \( \displaystyle \frac{x^2}{x-2} = x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2} \). Atunci \( \displaystyle \int_{3}^{4} (x + 2 + \displaystyle \frac{4}{x-2}) dx = \left[\displaystyle \frac{x^2}{2} + 2x + 4 \ln |x-2| \right]_{3}^{4} = (\displaystyle \frac{16}{2} + 8 + 4 \ln 2) - (\displaystyle \frac{9}{2} + 6 + 4 \ln 1) = 8 + 8 + 4 \ln 2 - \displaystyle \frac{9}{2} - 6 = 10 - \displaystyle \frac{9}{2} + 4 \ln 2 = \displaystyle \frac{11}{2} + 4 \ln 2 \).

a) Asimptota oblică se caută de forma \( y = mx + n \). \( m = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2}{x(x-1)} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2}{x^2 - x} = 1 \). \( n = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^2 + x + 2}{x-1} - x) = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x + 2 - x(x-1)}{x-1} = \displaystyle \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 2}{x-1} = 2 \). Deci asimptota oblică este \( y = x + 2 \).
b) \( f'(x) = \displaystyle \frac{(2x+1)(x-1) - (x^2+x+2)}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{2x^2 - x - 1 - x^2 - x - 2}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{(x-1)^2} = \displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2} \). Punctele critice sunt \( x = -1 \) și \( x = 3 \). \( f'(x) > 0 \) pentru \( x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) \), deci \( f \) este crescătoare pe aceste intervale. \( f'(x) < 0 \) pentru \( x \in (-1, 1) \cup (1, 3) \), deci \( f \) este descrescătoare pe aceste intervale.
c) Aria este \( A = \displaystyle \int_{2}^{3} |f(x) - (x+2)| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} |\displaystyle \frac{x^2+x+2}{x-1} - (x+2)| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} |\displaystyle \frac{x^2+x+2 - (x^2+x-2)}{x-1}| dx = \displaystyle \int_{2}^{3} \displaystyle \frac{4}{x-1} dx = [4 \ln |x-1|]_{2}^{3} = 4 \ln 2 - 4 \ln 1 = 4 \ln 2 \).

a) \( \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \displaystyle \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) \), conform definiției derivatei.
\( f'(x) = 2e^{2x} - 2e^{-2x} \Rightarrow f'(0) = 2 \cdot e^{0} - 2 \cdot e^{0} = 0 \)
b) \( f'(x) = 2(e^{2x} - e^{-2x}) \Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{2x} = e^{-2x} \Leftrightarrow x = 0 \).
\( f''(x) = 4e^{2x} + 4e^{-2x} > 0 \Rightarrow f''(0) > 0 \Rightarrow x = 0 \) este punct de minim local.
c) \( \displaystyle A = \int_{0}^{1} \left(e^{2x} + e^{-2x}\right) \, dx = \left[ \displaystyle \frac{1}{2} e^{2x} - \displaystyle \frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^1 = \displaystyle \frac{1}{2} \left(e^2 - e^{-2}\right) \)

Cuprins

Exerciții

Răspunsuri

Rezolvări